Олимпиада ВсОШ по Математике 8 класс 3 группа
📌 Задание 1.1 На доске было записано число. К нему прибавили 9, из него вычли 9, его умножили на 9, его разделили на 9 — каждая из этих операций производилась с исходным числом (независимо). Получили четыре числа, сумма которых равна 15. Сколько получили бы, если бы прибавляли, вычитали, умножали и делили не на 9, а на 5?
📌 Задание 1.2 На доске было записано число. К нему прибавили 5, из него вычли 5, его умножили на 5, его разделили на 5 — каждая из этих операций производилась с исходным числом (независимо). Получили четыре числа, сумма которых равна 40. Сколько получили бы, если бы прибавляли, вычитали, умножали и делили не на 5, а на 8?
📌 Задание 1.3 На доске было записано число. К нему прибавили 7, из него вычли 7, его умножили на 7, его разделили на 7 — каждая из этих операций производилась с исходным числом (независимо). Получили четыре числа, сумма которых равна 60. Сколько получили бы, если бы прибавляли, вычитали, умножали и делили не на 7, а на 5?
📌 Задание 1.4 На доске было записано число. К нему прибавили 9, из него вычли 9, его умножили на 9, его разделили на 9 — каждая из этих операций производилась с исходным числом (независимо). Получили четыре числа, сумма которых равна 12. Сколько получили бы, если бы прибавляли, вычитали, умножали и делили не на 9, а на 3?
📌 Задание 2.1 У купца Никодима четыре гири, одна из которых лежала в мешке. Он добавлял эти гири в мешок по одной, при этом средняя масса гирь в мешке каждый раз увеличивалась на 70 граммов. Самая тяжёлая гиря на 25 % тяжелее самой лёгкой. Сколько все гири весят в сумме? Ответ выразите в граммах.
📌 Задание 2.2 У купца Никодима четыре гири, одна из которых лежала в мешке. Он добавлял эти гири в мешок по одной, при этом средняя масса гирь в мешке каждый раз увеличивалась на 60 граммов. Самая тяжёлая гиря на 20 % тяжелее самой лёгкой. Сколько все гири весят в сумме? Ответ выразите в граммах.
📌 Задание 2.3 У купца Никодима четыре гири, одна из которых лежала в мешке. Он добавлял эти гири в мешок по одной, при этом средняя масса гирь в мешке каждый раз увеличивалась на 80 граммов. Самая тяжёлая гиря на 40 % тяжелее самой лёгкой. Сколько все гири весят в сумме? Ответ выразите в граммах.
📌 Задание 2.4 У купца Никодима четыре гири, одна из которых лежала в мешке. Он добавлял эти гири в мешок по одной, при этом средняя масса гирь в мешке каждый раз увеличивалась на 60 граммов. Самая тяжёлая гиря на 30 % тяжелее самой лёгкой. Сколько все гири весят в сумме? Ответ выразите в граммах.
📌 Задание 3.1 Купили мешок конфет, чтобы раздать участникам олимпиады. Если конфеты поровну раздавать на 8 участников, то 7 конфет останется. А если поровну раздавать на 27 участников, то 2 конфеты останется. Верны ли утверждения?
Если убрать из мешка 17 конфет, то можно поровну (и без остатка) раздать конфеты 29 участникам.
Если добавить в мешок 1 конфету, то можно поровну (и без остатка) раздать конфеты 6 участникам.
Найдётся такое количество конфет от 5 до 25, что если их забрать, то остальные можно поровну (и без остатка) раздать 36 участникам.
Конфеты можно поровну (и без остатка) раздать 9 участникам.
Если добавить в мешок 13 конфет, то можно поровну (и без остатка) раздать конфеты 12 участникам.
ВАРИАНТЫ ОЦЕНКИ
Верно при любом таком количестве конфет
Может быть как верным, так и неверным в зависимости от конкретного количества конфет в мешке (но при соблюдении условия задачи)
Неверно при любом таком количестве конфет
📌 Задание 3.2 Купили мешок конфет, чтобы раздать участникам олимпиады. Если конфеты поровну раздавать на 9 участников, то 8 конфет останется. А если поровну раздавать на 20 участников, то 12 конфет останется. Верны ли утверждения?
Если добавить в мешок 10 конфет, то можно поровну (и без остатка) раздать конфеты 6 участникам.
Конфеты можно поровну (и без остатка) раздать 4 участникам.
Если убрать из мешка 10 конфет, то можно поровну (и без остатка) раздать конфеты 12 участникам.
Найдётся такое количество конфет от 10 до 30, что если их забрать, то остальные можно поровну (и без остатка) раздать 30 участникам.
Если добавить в мешок 30 конфет, то можно поровну (и без остатка) раздать конфеты 13 участникам.
ВАРИАНТЫ ОЦЕНКИ
Верно при любом таком количестве конфет
Может быть как верным, так и неверным в зависимости от конкретного количества конфет в мешке (но при соблюдении условия задачи)
Неверно при любом таком количестве конфет
📌 Задание 3.3 Купили мешок конфет, чтобы раздать участникам олимпиады. Если конфеты поровну раздавать на 12 участников, то 9 конфет останется. А если поровну раздавать на 25 участников, то 15 конфет останется. Верны ли утверждения?
Если добавить в мешок 100 конфет, то можно поровну (и без остатка) раздать конфеты 75 участникам.
Если добавить в мешок 10 конфет, то можно поровну (и без остатка) раздать конфеты 7 участникам.
Найдётся такое количество конфет от 20 до 40, что если их добавить, то станет возможно поровну (и без остатка) раздать их 30 участникам.
Конфеты можно поровну (и без остатка) раздать 15 участникам.
Конфеты можно поровну (и без остатка) раздать 11 участникам.
ВАРИАНТЫ ОЦЕНКИ
Верно при любом таком количестве конфет
Может быть как верным, так и неверным в зависимости от конкретного количества конфет в мешке (но при соблюдении условия задачи)
Неверно при любом таком количестве конфет
📌 Задание 3.4 Купили мешок конфет, чтобы раздать участникам олимпиады. Если конфеты поровну раздавать на 8 участников, то 7 конфет останется. А если поровну раздавать на 21 участника, то 4 конфеты останется. Верны ли утверждения?
Если убрать из мешка 6 конфет, то можно поровну (и без остатка) раздать конфеты 5 участникам.
Если добавить в мешок 10 конфет, то можно поровну (и без остатка) раздать конфеты 7 участникам.
Найдётся такое количество конфет от 25 до 45, что если их забрать, то остальные можно поровну (и без остатка) раздать 56 участникам.
Конфеты можно поровну (и без остатка) раздать 3 участникам.
Если добавить в мешок 17 конфет, то можно поровну (и без остатка) раздать конфеты 24 участникам.
ВАРИАНТЫ ОЦЕНКИ
Верно при любом таком количестве конфет
Может быть как верным, так и неверным в зависимости от конкретного количества конфет в мешке (но при соблюдении условия задачи)
Неверно при любом таком количестве конфет
📌 Задание 4.1 На сторонах треугольника ABC отмечены точки D и E, а также обозначены равные углы, как на рисунке. Известно, что BC = CD, AD = EC и угол ABD = 27°.
Найдите угол между прямыми AB и ED. Ответ выразите в градусах.
📌 Задание 4.2 На сторонах треугольника ABC отмечены точки D и E, а также обозначены равные углы, как на рисунке. Известно, что BC = CD, AD = EC и угол ABD = 33°.
Найдите угол между прямыми AB и ED. Ответ выразите в градусах.
📌 Задание 4.3 На сторонах треугольника ABC отмечены точки D и E, а также обозначены равные углы, как на рисунке. Известно, что BC = CD, AD = EC и угол ABD = 12°.
Найдите угол между прямыми AB и ED. Ответ выразите в градусах.
📌 Задание 4.4 На сторонах треугольника ABC отмечены точки D и E, а также обозначены равные углы, как на рисунке. Известно, что BC = CD, AD = EC и угол ABD = 24°.
Найдите угол между прямыми AB и ED. Ответ выразите в градусах.
📌 Задание 5.1 Про натуральные числа a и b известно, что a² − b² = 44 − 2a.
Найдите все возможные значения суммы a + b. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
📌 Задание 5.2 Про натуральные числа a и b известно, что a² − b² = 74 − 2a.
Найдите все возможные значения суммы a + b. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
📌 Задание 5.3 Про натуральные числа a и b известно, что a² − b² = 44 + 4a.
Найдите все возможные значения суммы a + b. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
📌 Задание 5.4 Про натуральные числа a и b известно, что a² − b² = 74 + 2a.
Найдите все возможные значения суммы a + b. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
📌 Задание 6.1 Аня и Боря придумали свой язык. В его алфавите несколько букв, а любая последовательность из 5 написанных букв, которая одинаково читается слева направо и справа налево, называется словом (например, ШАЛАШ — это слово, а ААЛШШ — нет). Аня записала все слова, в которых есть сочетание букв АБ, а Боря записал все слова, в которых есть сочетание букв АБА. Оказалось, что у Ани записано на 78 слов больше, чем у Бори. Сколько слов записал Боря?
📌 Задание 6.2 Аня и Боря придумали свой язык. В его алфавите несколько букв, а любая последовательность из 5 написанных букв, которая одинаково читается слева направо и справа налево, называется словом (например, ШАЛАШ — это слово, а ААЛШШ — нет). Аня записала все слова, в которых есть сочетание букв АБ, а Боря записал все слова, в которых есть сочетание букв АБА. Оказалось, что у Ани записано на 66 слов больше, чем у Бори. Сколько слов записал Боря?
📌 Задание 6.3 Аня и Боря придумали свой язык. В его алфавите несколько букв, а любая последовательность из 5 написанных букв, которая одинаково читается слева направо и справа налево, называется словом (например, ШАЛАШ — это слово, а ААЛШШ — нет). Аня записала все слова, в которых есть сочетание букв АБ, а Боря записал все слова, в которых есть сочетание букв АБА. Оказалось, что у Ани записано на 57 слов больше, чем у Бори. Сколько слов записал Боря?
📌 Задание 6.4 Аня и Боря придумали свой язык. В его алфавите несколько букв, а любая последовательность из 5 написанных букв, которая одинаково читается слева направо и справа налево, называется словом (например, ШАЛАШ — это слово, а ААЛШШ — нет). Аня записала все слова, в которых есть сочетание букв АБ, а Боря записал все слова, в которых есть сочетание букв АБА. Оказалось, что у Ани записано на 87 слов больше, чем у Бори. Сколько слов записал Боря?
📌 Задание 7.1 Прямоугольные треугольники APB и DPC расположены так, как показано на рисунке, причём AB и CD равны и параллельны, угол ABP = 78°, угол DCP = 65°.
Найдите величины всех тупых углов четырёхугольника APCD. Ответы выразите в градусах. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
📌 Задание 7.2 Прямоугольные треугольники APB и DPC расположены так, как показано на рисунке, причём AB и CD равны и параллельны, угол ABP = 75°, угол DCP = 67°.
Найдите величины всех тупых углов четырёхугольника APCD. Ответы выразите в градусах. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
📌 Задание 7.3 Прямоугольные треугольники APB и DPC расположены так, как показано на рисунке, причём AB и CD равны и параллельны, угол ABP = 72°, угол DCP = 61°.
Найдите величины всех тупых углов четырёхугольника APCD. Ответы выразите в градусах. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
📌 Задание 7.4 Прямоугольные треугольники APB и DPC расположены так, как показано на рисунке, причём AB и CD равны и параллельны, угол ABP = 77°, угол DCP = 63°.
Найдите величины всех тупых углов четырёхугольника APCD. Ответы выразите в градусах. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
📌 Задание 8.1 Есть клетчатая доска размером 12 × 12 клеток, изначально белая. Назовём стикером квадрат размером 2 × 2 клетки, две противоположные угловые клетки которого чёрные, а две другие — белые. На доску наклеивают несколько стикеров (по линиям клеток) — стикеры могут перекрываться, при этом клетки, накрытые другим стикером, оказываются не видны. Какое наибольшее количество чёрных клеток может оказаться на доске?
📌 Задание 8.2 Есть клетчатая доска размером 14 × 14 клеток, изначально белая. Назовём стикером квадрат размером 2 × 2 клетки, две противоположные угловые клетки которого чёрные, а две другие — белые. На доску наклеивают несколько стикеров (по линиям клеток) — стикеры могут перекрываться, при этом клетки, накрытые другим стикером, оказываются не видны. Какое наибольшее количество чёрных клеток может оказаться на доске?
📌 Задание 8.3 Есть клетчатая доска размером 11 × 11 клеток, изначально белая. Назовём стикером квадрат размером 2 × 2 клетки, две противоположные угловые клетки которого чёрные, а две другие — белые. На доску наклеивают несколько стикеров (по линиям клеток) — стикеры могут перекрываться, при этом клетки, накрытые другим стикером, оказываются не видны. Какое наибольшее количество чёрных клеток может оказаться на доске?
📌 Задание 8.4 Есть клетчатая доска размером 13 × 13 клеток, изначально белая. Назовём стикером квадрат размером 2 × 2 клетки, две противоположные угловые клетки которого чёрные, а две другие — белые. На доску наклеивают несколько стикеров (по линиям клеток) — стикеры могут перекрываться, при этом клетки, накрытые другим стикером, оказываются не видны. Какое наибольшее количество чёрных клеток может оказаться на доске?