СтатГрад по Математике 11 класс задания
Вариант МА2610110 ответы
Часть 1.
Ответом к каждому из заданий 1–13 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
Задание 1. Средняя линия трапеции равна 9, а меньшее основание равно 4. Найдите большее основание трапеции.
Задание 2. Даны векторы a (2; 1) и b (-1; -2). Найдите косинус угла между ними.
Задание 3. Площадь поверхности шара равна 184. Найдите площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр.
Задание 4. В сборнике билетов по химии всего 25 билетов, в 6 из них встречается вопрос по разделу «Углеводороды». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по разделу «Углеводороды».
Задание 5. При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 91 % случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 93 % случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 13 % пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?
Задание 6. Всего выпущено 50 000 лотерейных билетов. Сумма выигрышей и число выигрышных билетов показаны в таблице.
Выигрыш | 100 р. | 500 р. | 1000 р. | 50 тыс. р. | 100 тыс. р.
Число выигрышных билетов | 1000 | 100 | 50 | 10 | 2
Найдите математическое ожидание случайной величины «выигрыш на один билет», который получит один случайный покупатель лотерейного билета. Ответ дайте в рублях.
Задание 7. Найдите корень уравнения log₂(6 — x) = 5.
Задание 8. Найдите значение выражения (√4,8 · √1,2)/√0,16.
Задание 9. На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (-4; 9). Определите количество целых точек, в которых функция f(x) убывает.
Задание 10. Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол поворота катушки, на который наматывется кабель, изменяется со временем по закону φ = ωt + βt²/2, где t — время (в минутах) от начала работы лебёдки, ω = 50°/мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а β = 5°/мин² — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки φ достигнет 750°. Определите время после начала работы лебедки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ дайте в минутах.
Задание 11. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 30 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 3 часа 45 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
Задание 12. На рисунке изображены графики функций f(x) = -6x + 11 и g(x) = ax² + bx + c, которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Задание 13. В июле 2030 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита будет на 27 320 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Часть 2.
Для записи решений и ответов на задания 14–20 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (14, 15 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
Задание 14. а) Решите уравнение 1 / sin x = 4sin(π/2 + x).
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-15π/4; -11π/4].
Задание 15. В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причём B₁K : KC₁ = 1:3. Четырёхугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4.
а) Докажите, что точка N — середина ребра BC.
б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объём призмы равен 16, а её высота равна 2.
Задание 16. Решите неравенство (4 — x)/(x — 5) ≤ 1/(1 — x).
Задание 17. Источник постоянного напряжения имеет электродвижущую силу ε = 40 В и внутреннее сопротивление r = 1 Ом. Сила тока в цепи при подключении к этому источнику нагрузки определяется законом Ома:
I = ε/(r + R),
где R — сопротивление нагрузки (в омах).
Тепловая мощность в ваттах, выделяемая на нагрузке, равна P = I²R (закон Джоуля—Ленца). При каком сопротивлении нагрузки R выделяемая на источнике тепловая мощность P наибольшая?
Задание 18. Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что прямая AC параллельна биссектрисе угла ANB.
б) Найдите длину отрезка NO, если известно, что AC = 6 и AB = 8.
Задание 19. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(x² — 2x)a² + (x⁴ — 2x³ — 8x + 16)a — 8x³ + 16x² = 0
имеет ровно два различных корня.
Задание 20. Есть 16 монет по 2 рубля и 31 монета по 5 рублей.
а) Можно ли этими монетами набрать сумму 185 рублей?
б) Можно ли этими монетами набрать сумму 186 рублей?
в) Какое наименьшее количество монет, каждая по 1 рублю, нужно добавить, чтобы иметь возможность набрать любую целую сумму от 1 рубля до 190 рублей включительно?