Олимпиада ВсОШ по Математике 8 класс 2 группа
📌 Задание 1 Вариант 1.
Куб 9 × 9 × 9 составлен из единичных кубиков. Через его центр проложили три прямых тоннеля сечением 1 × 1: каждый тоннель соединяет центры двух противоположных граней, а направления тоннелей попарно перпендикулярны. Для этого все единичные кубики, через которые проходят тоннели, вынули. Сколько кубиков вынули?
Вариант 2.
Куб 15 × 15 × 15 составлен из единичных кубиков. Через его центр проложили три прямых тоннеля сечением 1 × 1: каждый тоннель соединяет центры двух противоположных граней, а направления тоннелей попарно перпендикулярны. Для этого все единичные кубики, через которые проходят тоннели, вынули. Сколько кубиков вынули?
Вариант 3.
Куб 13 × 13 × 13 составлен из единичных кубиков. Через его центр проложили три прямых тоннеля сечением 1 × 1: каждый тоннель соединяет центры двух противоположных граней, а направления тоннелей попарно перпендикулярны. Для этого все единичные кубики, через которые проходят тоннели, вынули. Сколько кубиков вынули?
Вариант 4.
Куб 11 × 11 × 11 составлен из единичных кубиков. Через его центр проложили три прямых тоннеля сечением 1 × 1: каждый тоннель соединяет центры двух противоположных граней, а направления тоннелей попарно перпендикулярны. Для этого все единичные кубики, через которые проходят тоннели, вынули. Сколько кубиков вынули?
📌 Задание 2 Вариант 1.
Пол зала разбит на 4 × 4 квадратных клеток. В двух клетках, отмеченных на рисунке, стоят колонны. Остальную часть пола покрывают плитками 1 × 2 клетки без наложений и зазоров. Плитки можно поворачивать.
Сколькими способами можно уложить плитки?
Вариант 2
Пол зала разбит на 4 × 4 квадратных клеток. В двух клетках, отмеченных на рисунке, стоят колонны. Остальную часть пола покрывают плитками 1 × 2 клетки без наложений и зазоров. Плитки можно поворачивать.
Сколькими способами можно уложить плитки?
Вариант 3.
Пол зала разбит на 4 × 4 квадратных клеток. В двух клетках, отмеченных на рисунке, стоят колонны. Остальную часть пола покрывают плитками 1 × 2 клетки без наложений и зазоров. Плитки можно поворачивать.
Сколькими способами можно уложить плитки?
Вариант 4 .
Пол зала разбит на 4 × 4 квадратных клеток. В двух клетках, отмеченных на рисунке, стоят колонны. Остальную часть пола покрывают плитками 1 × 2 клетки без наложений и зазоров. Плитки можно поворачивать.
Сколькими способами можно уложить плитки?
📌 Задание 3 Вариант 1 .
На схеме показаны уже проложенные каналы связи между пунктами A, B, C, D, E, F.
Требуется проложить ровно два новых канала так, чтобы к этим пунктам подходило соответственно 4, 3, 3, 2, 3, 3 канала соответственно (к пункту A — 4 канала, пункту B — 3 канала, и т. д.). Какие каналы необходимо провести?
BD
CE
AC
DE
DF
CF
AF
BE
Вариант 2.
На схеме показаны уже проложенные каналы связи между пунктами A, B, C, D, E, F.
Требуется проложить ровно два новых канала так, чтобы к этим пунктам подходило соответственно 4, 3, 3, 3, 3, 2 канала соответственно (к пункту A — 4 канала, пункту B — 3 канала, и т. д.). Какие каналы необходимо провести?
AF
AC
BD
CE
DF
BE
CF
DE
Вариант 3.
На схеме показаны уже проложенные каналы связи между пунктами A, B, C, D, E, F.
Требуется проложить ровно два новых канала так, чтобы к этим пунктам подходило соответственно 4, 4, 3, 3, 2, 2 канала соответственно (к пункту A — 4 канала, пункту B — 4 канала, и т. д.). Какие каналы необходимо провести?
AF
DF
AC
CE
BD
BE
CF
DE
Вариант 4.
На схеме показаны уже проложенные каналы связи между пунктами A, B, C, D, E, F.
Требуется проложить ровно два новых канала так, чтобы к этим пунктам подходило соответственно 3, 4, 3, 3, 3, 2 канала соответственно (к пункту A — 3 канала, пункту B — 4 канала, и т. д.). Какие каналы необходимо провести?
BE
BD
DE
AC
AF
CE
CF
DF
📌 Задание 4 Вариант 1.
Три автоматических датчика записывают показания в журнал:
Датчик | Первое время записи | Период
A | 3 мин | 4 мин
B | 5 мин | 6 мин
C | 2 мин | 9 мин
Время отсчитывается от запуска системы. Найдите первые два момента, в которые все три датчика сделают запись одновременно.
Первый момент: □ мин
Второй момент: □ мин
Вариант 2.
Три автоматических датчика записывают показания в журнал:
Датчик | Первое время записи | Период
A | 6 мин | 7 мин
B | 2 мин | 9 мин
C | 8 мин | 12 мин
Время отсчитывается от запуска системы. Найдите первые два момента, в которые все три датчика сделают запись одновременно.
Первый момент: □ мин
Второй момент: □ мин
Вариант 3.
Три автоматических датчика записывают показания в журнал:
Датчик | Первое время записи | Период
A | 2 мин | 6 мин
B | 6 мин | 8 мин
C | 5 мин | 9 мин
Время отсчитывается от запуска системы. Найдите первые два момента, в которые все три датчика сделают запись одновременно.
Первый момент: □ мин
Второй момент: □ мин
Вариант 4.
Три автоматических датчика записывают показания в журнал:
Датчик | Первое время записи | Период
A | 2 мин | 5 мин
B | 1 мин | 8 мин
C | 7 мин | 10 мин
Время отсчитывается от запуска системы. Найдите первые два момента, в которые все три датчика сделают запись одновременно.
Первый момент: □ мин
Второй момент: □ мин
📌 Задание 5 Вариант 1.
Трёхзначный код обладает следующими свойствами:
• если первую цифру перенести в конец, число увеличится на 468;
• если цифры записать в обратном порядке, число увеличится на 198;
• исходный код делится на 11.
Найдите исходный код.
Вариант 2.
Трёхзначный код обладает следующими свойствами:
• если первую цифру перенести в конец, число увеличится на 477;
• если цифры записать в обратном порядке, число увеличится на 297;
• исходный код делится на 11.
Найдите исходный код.
Вариант 3.
Трёхзначный код обладает следующими свойствами:
• если первую цифру перенести в конец, число увеличится на 189;
• если цифры записать в обратном порядке, число увеличится на 99;
• исходный код делится на 11.
Найдите исходный код.
Вариант 4.
Трёхзначный код обладает следующими свойствами:
• если первую цифру перенести в конец, число увеличится на 576;
• если цифры записать в обратном порядке, число увеличится на 396;
• исходный код делится на 11.
Найдите исходный код.
📌 Задание 6 Вариант 1.
Сколько существует пар натуральных чисел (a; b), для которых одновременно НОД(a; b) = 8 и НОК(a; b) = 7560?
Пары (a; b) и (b; a) при a ≠ b считаются различными.
Вариант 2.
Сколько существует пар натуральных чисел (a; b), для которых одновременно НОД(a; b) = 6 и НОК(a; b) = 6300?
Пары (a; b) и (b; a) при a ≠ b считаются различными.
Вариант 3.
Сколько существует пар натуральных чисел (a; b), для которых одновременно НОД(a; b) = 12 и НОК(a; b) = 27720?
Пары (a; b) и (b; a) при a ≠ b считаются различными.
Вариант 4.
Сколько существует пар натуральных чисел (a; b), для которых одновременно НОД(a; b) = 15 и НОК(a; b) = 18900?
Пары (a; b) и (b; a) при a ≠ b считаются различными.
📌 Задание 7 Вариант 1.
В треугольнике ABC ∠BAC = 37°. На стороне AC выбрана точка D, отличная от C, так, что BD = BC. На стороне AB выбрана точка E, отличная от B, так, что CE = CB. Отрезки BD и CE пересекаются в точке P. Найдите угол ∠BPC. Ответ выразите в градусах.
Вариант 2.
В треугольнике ABC ∠BAC = 53°. На стороне AC выбрана точка D, отличная от C, так, что BD = BC. На стороне AB выбрана точка E, отличная от B, так, что CE = CB. Отрезки BD и CE пересекаются в точке P. Найдите угол ∠BPC. Ответ выразите в градусах.
Вариант 3.
В треугольнике ABC ∠BAC = 41°. На стороне AC выбрана точка D, отличная от C, так, что BD = BC. На стороне AB выбрана точка E, отличная от B, так, что CE = CB. Отрезки BD и CE пересекаются в точке P. Найдите угол ∠BPC. Ответ выразите в градусах.
Вариант 4.
В треугольнике ABC ∠BAC = 48°. На стороне AC выбрана точка D, отличная от C, так, что BD = BC. На стороне AB выбрана точка E, отличная от B, так, что CE = CB. Отрезки BD и CE пересекаются в точке P. Найдите угол ∠BPC. Ответ выразите в градусах.
📌 Задание 8 Вариант 1.
Число x таково, что x³ + 4x = 8. Найдите x⁷ + 64x² + 8.
Вариант 2.
Число x таково, что x³ + 4x = 8. Найдите x⁷ + 64x² + 6.
Вариант 3.
Число x таково, что x³ + 4x = 8. Найдите x⁷ + 64x² + 5.
Вариант 4.
Число x таково, что x³ + 4x = 8. Найдите x⁷ + 64x² + 7.