Олимпиада ВсОШ по Математике 8 класс по Москве
📌 Задание 1 Куб 9 × 9 × 9 составлен из единичных кубиков. Через его центр проложили три прямых тоннеля сечением 1 × 1: каждый тоннель соединяет центры двух противоположных граней, а направления тоннелей попарно перпендикулярны. Для этого все единичные кубики, через которые проходят тоннели, вынули.
Сколько кубиков вынули?
📌 Задание 2 Пол зала разбит на 4 × 4 квадратных клеток. В двух клетках, отмеченных на рисунке, стоят колонны. Остальную часть пола покрывают плитками 1 × 2 клетки без наложения и зазоров. Плитки можно поворачивать.
Сколькими способами можно уложить плитки?
📌 Задание 3 На схеме показаны уже проложенные каналы связи между пунктами A, B, C, D, E, F.
Требуется проложить ровно два новых канала так, чтобы к этим пунктам подходило соответственно 4, 3, 3, 2, 3, 3 канала соответственно (к пункту A — 4 канала, пункту B — 3 канала, и т. д.). Какие каналы необходимо провести?
AC
AF
BD
CF
CE
DF
BE
DE
📌 Задание 4 Три автоматических датчика записывают показания в журнал.
Время отсчитывается от запуска системы. Найдите первые два момента, в которые все три датчика сделают запись одновременно.
Датчик | Первое время записи | Период
A | 2 мин | 6 мин
B | 6 мин | 8 мин
C | 5 мин | 9 мин
Первый момент: □ мин.
Второй момент: □ мин.
📌 Задание 5 Трёхзначный код обладает следующими свойствами:
• если первую цифру перенести в конец, число увеличится на 189;
• если цифры записать в обратном порядке, число увеличится на 99;
• исходный код делится на 11.
Найдите исходный код.
📌 Задание 6 Сколько существует пар натуральных чисел (a; b), для которых одновременно НОД(a; b) = 6 и НОК(a; b) = 6300?
Пары (a; b) и (b; a) при a ≠ b считаются различными.
📌 Задание 7 В треугольнике ABC ∠BAC = 37°. На стороне AC выбрана точка D, отличная от C, так, что BD = BC. На стороне AB выбрана точка E, отличная от B, так, что CE = CB. Отрезки BD и CE пересекаются в точке P.
Найдите угол ∠BPC.
Ответ выразите в градусах.
📌 Задание 8 Число x таково, что x³ + 4x = 8. Найдите x⁷ + 64x² + 8.