Задание 1. Коэффициенты многочлена
Многочлен P(x) = (2x² − x − 1)⁸ приведён к стандартному виду: a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + … + a₁₆.
Найдите сумму всех коэффициентов a₀ + a₁ + … + a₁₆.
Найдите сумму коэффициентов с чётными индексами a₀ + a₂ + … + a₁₆.
Задание 2. Разбиение треугольника
На сторонах BC, AC, AB треугольника ABC выбраны точки A', B', C' соответственно, чевианы пересекаются в точке M. Площади треугольников AMB' и AMC' равны 5, а площадь треугольника BMC' равна 10.
Найдите площадь треугольника MCB'.
Найдите площадь треугольника ABC.
Задание 3. Колебания
Дана функция f(x) = sin(x + π/4) · sin(x + 3π/4) · sin(x + 5π/4) · sin(x + 7π/4).
Найдите наибольшее значение функции f(x).
Найдите наибольшее значение функции g(x, y) = f(x) − f(y).
Задание 4. Очень дружный класс
В классе из 24 человек все здороваются за руку со всеми. В определённый день пришли не все, и число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось равным числу рукопожатий между мальчиками и девочками.
Сколько ребят в этот день не пришли в школу (наименьший возможный ответ)?
Если пришло наибольшее возможное число ребят, сколько среди них было девочек?